Nombre de racines d'un polynôme

Proposition

Soit \(n\) un entier naturel.  Un polynôme de degré  \(n\) admet au plus \(n\) racines.

Démonstration

Pour tout \(n\) entier naturel, on note \(R(n)\) la propriété : \(R(n)\)  : \(\) « Un polynôme de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines. »

Démontrons par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(R(n)\) est vraie.

Initialisation

Pour \(n=0\) . Un polynôme de degré \(0\) est un polynôme constant non nul. Un tel polynôme n'a pas de racine, il a donc bien au plus \(0\) racines.

Hérédité

Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(R(n)\) est vraie. Montrons que \(R(n+1)\) est vraie.  Soit \(P\) un polynôme de degré \(n+1\) . Montrons que \(P\) admet au plus \(n+1\) racines.

•  Soit \(P\) n'a pas de racine, alors on a directement que \(P\) admet au plus \(n+1\) racine (puisque \(0\leq n+1\) ), donc \(R(n+1)\)  est vraie.
  
•  Soit \(P\) admet au moins une racine \(z_0\) . Alors il existe un polynôme \(Q\) de degré \(n\) tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z)=(z-z_0)Q(z)\) .
  

On a donc, pour tout  \(z \in \mathbb{C}\) , \(z \text{ est racine de }P \iff P(z)=0 \iff (z-z_0)= 0 \text{ ou } Q(z)=0\iff z= z_0 \text{ ou } z \text{ est racine de Q}\) .

Or, \(Q\) est un polynôme de degré \(n\) , donc, d'après l'hypothèse de récurrence \(R(n)\) , \(Q\) admet au plus \(n\) racines, et donc \(P\) admet au plus \(n+1\) racines.
Donc \(R(n+1)\) est vraie.

Dans les deux cas, on a montré que \(R(n+1)\) est vraie.

Conclusion

On a montré que la propriété \(R(n)\) est initialisée au rang \(n=0\) et qu'elle est héréditaire à partir du rang \(0\) , elle est donc vraie pour tout entier naturel \(n\) , d'après le principe de récurrence.